Moving Gjennomsnittet Autocovariance

2 1 Moving Average Models MA modeller. Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller bevegelige gjennomsnittlige termer. I uke 1 lærte vi en autoregressiv term i en tidsseriemodell for variabelen xt er en forsinket verdi på xt For eksempel , et lag 1 autoregressivt uttrykk er x t-1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, betydning at wt er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normalfordeling med gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den 1 st ordningsgjøre gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved hjelp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike ved lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner ved lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1.For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av kausalrepresentasjonen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers serien diverges. Purpose Check Randomness. Autocorrelation plots Box og Jenkins, s. 28-32 er en vanlig - brukt verktøy for å sjekke tilfeldighet i et datasett Denne tilfeldigheten er fastslått ved å beregne autokorrelasjoner for dataverdier ved varierende tidsforsinkelser. Hvis tilfeldig, bør slike autokorrelasjoner være nær null for alle tidsforsinkelsesavvik. Hvis ikke-tilfeldig, så vil en eller flere av autokorrelasjonen ns vil være vesentlig ikke-null. I tillegg brukes autokorrelasjonsplott i modellidentifikasjonstrinnet for Box-Jenkins autoregressive, bevegelige gjennomsnittlige tidsseriemodeller. Autokorrelasjon er bare ett mål for tilfeldighet. Merk at uncorrelated ikke nødvendigvis betyr tilfeldig Data som har betydelig autokorrelasjon ikke tilfeldig. Data som ikke viser signifikant autokorrelasjon, kan likevel vise ikke-tilfeldighet på andre måter Autokorrelasjon er bare et mål for tilfeldighet I sammenheng med modellvalidering som er den primære typen tilfeldighet vi dikterer i Håndboken, sjekk for autokorrelasjon er vanligvis en tilstrekkelig test av tilfeldighet siden resterne fra en dårlig monteringsmodell har en tendens til å vise ikke-subtil tilfeldighet. Noen applikasjoner krever en strengere bestemmelse av tilfeldighet. I disse tilfellene er et batteri av tester, som kan omfatte kontroll av autokorrelasjon, brukes da data kan være ikke-tilfeldig i mange forskjellige og ofte subtile måter. Et eksempel på hvor det er behov for en strengere kontroll for tilfeldighet, ville være å teste tilfeldige tallgeneratorer. Eksempelplott Autokorrelasjoner bør være nær null for tilfeldighet. Slik er ikke tilfellet i dette eksemplet, og dermed slår tilfeldighetsforutsetningen bort. Denne prøveautokorrelasjonen plot viser at tidsseriene ikke er tilfeldige, men har snarere en høy grad av autokorrelasjon mellom tilstøtende og nærliggende observasjoner. Definisjonen rh versus h. Autokorrelasjonsplottene dannes av. Vertisk akse Autokorrelasjonskoeffisient. der Ch er autokovariansfunksjonen. og C 0 er variansfunksjonen. Merk at R h er mellom -1 og 1. Merk at noen kilder kan bruke følgende formel for autokovariansfunksjonen. Selv om denne definisjonen har mindre bias, har 1 N formuleringen noen ønskelige statistiske egenskaper og er skjemaet som oftest brukes i statistikklitteraturen Se side 20 og 49-50 i Chatfield for detaljer. Horisontal akse Tidsforsinkelse hh 1, 2, 3.Overstrekningslinjen gjelder også inneholder flere horisontale referanselinjer Mellomlinjen er null De andre fire linjene er 95 og 99 konfidensbånd. Merk at det er to forskjellige formler for generering av konfidensbåndene. Hvis autokorrelasjonsplottet brukes til å teste for tilfeldighet, dvs. det er ingen tid avhengighet i dataene, anbefales følgende formel. Hvor N er prøvestørrelsen, z er den kumulative fordelingsfunksjonen til standard normalfordeling og alfa er signifikansnivået. I dette tilfellet har konfidensbåndene en fast bredde som avhenger av prøven størrelse Dette er formelen som ble brukt til å generere konfidensbåndene i ovennevnte plot. Autokorrelasjonsplottene benyttes også i modellidentifikasjonstrinnet for montering av ARIMA-modeller. I dette tilfellet antas en bevegelig gjennomsnittsmodell for dataene og følgende konfidensbånd skal genereres. hvor k er lagret, N er prøvestørrelsen, z er den kumulative fordelingsfunksjonen til standard normalfordeling og alfa er Signifikansnivået I dette tilfellet øker konfidensbåndene etter hvert som laget øker. Autokorrelasjonsplottet kan gi svar på de følgende spørsmålene. Vær data random. Er en observasjon knyttet til en tilstøtende observasjon. Det er en observasjon knyttet til en observasjon to ganger fjernet etc. Is den observerte tidsserien hvit støy. Er den observerte tidsserien sinusformet. Er den observerte tidsserien autoregressive. Hva er en passende modell for den observerte tidsserien. Er modellen. valid og tilstrekkelig. Er formelen ss sqrt gyldig. Importance Sikre gyldigheten av engineering conclusions. Randomness sammen med fast modell, fast variasjon og fast distribusjon er en av de fire antagelsene som vanligvis ligger til grunn for alle måleprosesser. Tilfeldighetenes antagelse er kritisk viktig av følgende tre grunner. De fleste standard statistiske tester er avhengige av tilfeldighet Gyldigheten av testkonklusjonene er direkte knyttet til gyldigheten av tilfeldighetsforutsetningen. Mange ofte - brukte statistiske formler avhenger av tilfeldighetsforutsetningen, den vanligste formelen er formelen for å bestemme standardavviket til sample meanen. hvor s er standardavviket til dataene Selv om det er tungt brukt, er resultatene fra å bruke denne formelen av ingen verdi med mindre tilfeldighetsforutsetningen holder. For univariate data er standardmodellen. Hvis dataene ikke er tilfeldige, er denne modellen feil og ugyldig, og estimatene for parametrene som konstanten blir uansvarlige og ugyldige. Kort sagt, hvis analytikeren gjør det ikke sjekk for tilfeldighet, så blir gyldigheten av mange av de statistiske konklusjonene mistenkt. Autocorrelation plot er en utmerket måte å sjekke for slik tilfeldighet. Innføring i ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q prognoserlikning ARIMA-modeller er i teorien den mest generelle klassen av modeller for å prognose en tidsserie som kan gjøres for å være stasjonær ved differensiering om nødvendig, kanskje i forbindelse med ikke-lineær trans formasjoner som å logge eller deflatere om nødvendig En tilfeldig variabel som er en tidsserie er stasjonær hvis dens statistiske egenskaper er konstant over tid En stasjonær serie har ingen trend, dens variasjoner rundt dens gjennomsnitt har en konstant amplitude, og den svinger i en konsekvent mote dvs. kortsiktige tilfeldige tidsmønstre ser alltid ut i statistisk forstand Den sistnevnte tilstanden betyr at dets autokorrelasjonskorrelasjoner med sine egne tidligere avvik fra middelværdien forblir konstant over tid, eller tilsvarende at dets strømspektrum forblir konstant over tid A tilfeldig variabel i dette skjemaet kan sees som vanlig som en kombinasjon av signal og støy, og signalet hvis det er tydelig, kan være et mønster av rask eller langsom gjennomsnittlig reversering eller sinusformet oscillasjon eller rask veksling i tegn, og det kan også ha en sesongkomponent En ARIMA-modell kan ses som et filter som forsøker å skille signalet fra støyen, og signalet blir deretter ekstrapolert til fu ARIMA-prognose-ligningen for en stasjonær tidsserie er en lineær ie-regresjonstypekvasjon hvor prediktorene består av lags av den avhengige variabelen og eller lagrer prognosefeilene som er. Predittverdien av Y er en konstant og eller en vektet sum av en eller flere nylige verdier av Y og eller en vektet sum av en eller flere nylige verdier av feilene. Hvis prediktorene bare består av forsinkede verdier av Y, er det en ren autoregressiv selvregressert modell, som bare er et spesielt tilfelle av en regresjonsmodell, og som kunne være utstyrt med standard regresjonsprogramvare. For eksempel er en førsteordens autoregressiv AR1-modell for Y en enkel regresjonsmodell der den uavhengige variabelen bare er Y forsinket med en periode LAG Y, 1 i Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt Hvis noen av prediktorene lags av feilene, er en ARIMA-modell ikke en lineær regresjonsmodell, fordi det ikke er mulig å spesifisere siste periode s-feil som en uavhengig variabel feilene må beregnes fra tid til annen når modellen er montert på dataene Fra et teknisk synspunkt er problemet med å bruke forsinkede feil som prediktorer at modellens spådommer ikke er lineære funksjoner av koeffisientene, selv om de er lineære funksjoner av de tidligere dataene Så, koeffisienter i ARIMA-modeller som inkluderer forsinkede feil må estimeres ved at ikke-lineære optimaliseringsmetoder går i fjellklatring fremfor bare ved å løse et system av ligninger. Akronymet ARIMA står for automatisk regressive integrerte bevegelige gjennomsnittslagre av den stationære serien I prognosekvotasjonen kalles autoregressive termer, lag av prognosen feilene kalles glidende gjennomsnittlige betingelser og en tidsserie som må differensieres for å bli stasjonær, sies å være en integrert versjon av en stasjonær serie Tilfeldig gange og tilfeldig - trendmodeller, autoregressive modeller og eksponentielle utjevningsmodeller er alle spesielle tilfeller av ARIMA-modeller. En nonseasonal ARIMA-modell er klassifisert som en AR IMA p, d, q modell, hvor. p er antall autoregressive termer. d er antall ikke-sekundære forskjeller som trengs for stasjonar, og. q er antall forsinkede prognosefeil i prediksjonsligningen. Forecasting-ligningen er konstruert som Følger Først, la y betegne den forskjellen på Y som betyr. Merk at den andre forskjellen på Y d2-saken ikke er forskjellen fra 2 perioder siden. Det er først den forskjell som er den første forskjellen som er den diskrete analogen til et andre derivat, det vil si den lokale akselerasjonen i serien i stedet for den lokale trenden. Med hensyn til y er den generelle prognosekvasjonen her. De bevegelige gjennomsnittlige parametrene s er definert slik at deres tegn er negative i ligningen, Følgende konvensjonen som ble innført av Box og Jenkins Noen forfattere og programvare, inkludert R-programmeringsspråket, definerer dem slik at de har pluss tegn i stedet Når de faktiske tallene er plugget inn i ligningen, er det ingen tvetydighet, men det er viktig å vite hvilken konvensjon programvaren bruker når du leser utdata Ofte er parameterne angitt der med AR 1, AR 2, og MA 1, MA 2 osv. For å identifisere riktig ARIMA-modell for Y begynner du ved å bestemme rekkefølgen for differensiering d trenger å stasjonærisere serien og fjerne bruttoegenskapene til sesongmessigheten, kanskje sammen med en variansstabiliserende transformasjon som logging eller deflating Hvis du stopper på dette punktet og forutser at differensierte serier er konstante, har du bare montert en tilfeldig tur eller tilfeldig trendmodell Imidlertid kan den stationære serien fortsatt ha autokorrelerte feil, noe som tyder på at noen AR-vilkår p 1 og eller noen tall MA-termer q 1 også er nødvendig i prognosekvasjonen. Prosessen med å bestemme verdiene p, d , og q som er best for en gitt tidsserie, vil bli diskutert i senere avsnitt i notatene hvis koblinger er øverst på denne siden, men en forhåndsvisning av noen av de ikke-sasonlige ARIMA-modellene t hue som ofte oppdages, er gitt nedenfor. ARIMA 1,0,0 førsteordens autoregressive modell hvis serien er stasjonær og autokorrelert, kanskje den kan forutsies som et flertall av sin egen tidligere verdi, pluss en konstant Forutsigelsesligningen i dette tilfellet is. which er regressert i seg selv forsinket med en periode Dette er en ARIMA 1,0,0 konstant modell Hvis gjennomsnittet av Y er null, vil ikke den konstante termen bli inkludert. Hvis hellingskoeffisienten 1 er positiv og mindre enn 1 i størrelsesorden må den være mindre enn 1 i størrelsesorden hvis Y er stasjonær, beskriver modellen gjennomsnittsreferanseadferd, der neste periode s-verdi skal anslås å være 1 ganger så langt unna gjennomsnittet som denne periodens verdi hvis 1 er negativt, forutser det at det er en gjennomsnittlig tilbakegangsadferd med skifting av tegn, dvs. det forutsier også at Y vil være under gjennomsnittlig neste periode hvis den er over gjennomsnittet i denne perioden. I en andreordens autoregressiv modell ARIMA 2,0,0 er det ville være et Y t-2 begrep til høyre også, og så videre De Venter på tegn og størrelser på koeffisientene, kunne en ARIMA 2,0,0 modell beskrive et system hvis gjennomsnitts reversering foregår på sinusformet oscillerende måte, som bevegelse av en masse på en fjær som er utsatt for tilfeldige støt. 0,1,0 tilfeldig gang Hvis serien Y ikke er stasjonær, er den enkleste modellen for den en tilfeldig turmodell, som kan betraktes som et begrensende tilfelle av en AR 1-modell hvor den autoregressive koeffisienten er lik 1, iea-serien med uendelig sakte, gjennomsnittlig reversering Forutsigelsesligningen for denne modellen kan skrives som: hvor konstant sikt er den gjennomsnittlige perioden til periode-endringen, dvs. den langsiktige driften i Y Denne modellen kan monteres som en ikke-avskjæringsregresjon modell der den første forskjellen i Y er den avhengige variabelen Siden den bare inneholder en ikke-soneforskjell og en konstant term, er den klassifisert som en ARIMA 0,1,0-modell med konstant. Den tilfeldige-walk-uten-drift-modellen ville være en ARIMA 0,1,0 modell uten konstant. ARIMA 1,1,0 differensiert førsteordens autoregressiv modell Hvis feilene i en tilfeldig walk-modell er autokorrelert, kan problemet løses ved å legge til et lag av den avhengige variabelen til prediksjonsligningen - dvs. ved å regresse den første forskjellen på Y i seg selv forsinket med en periode Dette ville gi følgende prediksjonsligning. Det kan omarrangeres til. Dette er en førsteordens autoregressiv modell med en rekkefølge av ikke-soneforskjeller og en konstant term, dvs. en ARIMA 1,1, 0 model. ARIMA 0,1,1 uten konstant enkel eksponensiell utjevning En annen strategi for korrigering av autokorrelerte feil i en tilfeldig gangmodell er foreslått av den enkle eksponensielle utjevningsmodellen. Husk at for noen ikke-stationære tidsserier, for eksempel de som viser støyende svingninger rundt en sakte - varierende gjennomsnitt, vil den tilfeldige turmodellen ikke utføre så vel som et glidende gjennomsnitt av tidligere verdier Med andre ord, i stedet for å ta den nyeste observasjonen som prognosen for neste obse rvation, er det bedre å bruke et gjennomsnitt av de siste observasjonene for å filtrere ut støy og mer nøyaktig anslå det lokale gjennomsnittet. Den enkle eksponensielle utjevningsmodellen bruker et eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt av tidligere verdier for å oppnå denne effekten. Forutsigelsesligningen for Den enkle eksponensielle utjevningsmodellen kan skrives i en rekke matematisk ekvivalente former, hvorav en er den såkalte feilkorreksjonsformen, der den forrige prognosen er justert i retning av feilen som den gjorde. Fordi e t-1 Y t -1 - t-1 per definisjon, dette kan skrives om som en ARIMA 0,1,1-uten konstant prognosekvasjon med 1 1 - Dette betyr at du kan tilpasse en enkel eksponensiell utjevning ved å angi den som en ARIMA 0,1,1 modell uten konstant, og den estimerte MA 1-koeffisienten tilsvarer 1-minus-alfa i SES-formelen. Husk at i gjennomsnittlig SES-modell er gjennomsnittsalderen for dataene i de 1-framtidige prognosene 1 betydning at de vil pleie å l Ag etter trender eller vendepunkter med om lag 1 perioder. Det følger at gjennomsnittsalderen for dataene i de 1-fremadsprogede prognosene for en ARIMA 0,1,1-uten-konstant modell er 1 1 - 1 Så, for eksempel, hvis 1 0 8, er gjennomsnittsalderen 5 Som 1 nærmer seg 1, blir den ARIMA 0,1,1-uten-konstante modellen et veldig langsiktig glidende gjennomsnitt, og når 1 nærmer seg 0 blir det en tilfeldig tur uten - drift modell. Hva er den beste måten å korrigere for autokorrelasjon legge til AR-vilkår eller legge til MA-vilkår I de to foregående modellene ble problemet med autokorrelerte feil i en tilfeldig turmodell fikset på to forskjellige måter ved å legge til en forsinket verdi av den differensierte serien til ligningen eller legge til en forsinket verdi av prognosen feilen Hvilken tilnærming er best En tommelfingerregel for denne situasjonen, som vil bli nærmere omtalt senere, er at positiv autokorrelasjon vanligvis behandles best ved å legge til en AR-termen til modellen og negativ autokorrelasjon behandles vanligvis best ved å legge til en M Et begrep I forretnings - og økonomiske tidsserier oppstår negativ autokorrelasjon ofte som en artefakt av differensiering. Generelt reduserer differensiering positiv autokorrelasjon og kan til og med forårsake en bryter fra positiv til negativ autokorrelasjon. Så, ARIMA 0,1,1-modellen, hvor differensiering er ledsaget av en MA-term, brukes hyppigere enn en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 med konstant enkel eksponensiell utjevning med vekst Ved å implementere SES-modellen som en ARIMA-modell får du faktisk en viss fleksibilitet først av alt kan antatt MA 1-koeffisienten være negativ, dette tilsvarer en utjevningsfaktor som er større enn 1 i en SES-modell, som vanligvis ikke er tillatt i SES-modellprosedyren. For det andre har du muligheten til å inkludere en konstant term i ARIMA-modellen hvis du ønsker det, for å estimere en gjennomsnittlig ikke-null-trend. ARIMA 0,1,1-modellen med konstant har prediksjonsligningen. En-prognosene fra denne modellen er kvalitativt lik den ose av SES-modellen, bortsett fra at bane av de langsiktige prognosene typisk er en skrå linje hvis helling er lik mu i stedet for en horisontal linje. ARIMA 0,2,1 eller 0,2,2 uten konstant lineær eksponensiell utjevning Linjære eksponentielle utjevningsmodeller er ARIMA-modeller som bruker to ikke-sekundære forskjeller i sammenheng med MA-termer. Den andre forskjellen i en serie Y er ikke bare forskjellen mellom Y og seg selv forsinket av to perioder, men det er den første forskjellen i den første forskjellen - - i bytte-for-endringen av Y ved periode t Således er den andre forskjellen på Y ved periode t lik Y t - Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t -1 Y t-2 En annen forskjell på en diskret funksjon er analog med et andre derivat av en kontinuerlig funksjon som måler akselerasjonen eller krumningen i funksjonen på et gitt tidspunkt. ARIMA 0,2,2-modellen uten konstant spår at den andre forskjellen i serien er lik en lineær funksjon av de to siste prognosen err ors. which kan omarrangeres som. Hvor 1 og 2 er MA 1 og MA 2 koeffisientene Dette er en generell lineær eksponensiell utjevningsmodell som i det vesentlige er den samme som Holt s-modellen, og Brown s-modellen er et spesielt tilfelle. Det bruker eksponentielt vektede glidende gjennomsnitt å estimere både et lokalt nivå og en lokal trend i serien. De langsiktige prognosene fra denne modellen konvergerer til en rett linje hvis skråning avhenger av den gjennomsnittlige trenden som observeres mot slutten av serien. ARIMA 1,1,2 uten konstant dempet - trend lineær eksponensiell utjevning. Denne modellen er illustrert i de tilhørende lysbildene på ARIMA-modellene. Den ekstrapolerer den lokale trenden i slutten av serien, men flater den ut på lengre prognoshorisonter for å introdusere et konservatismedokument, en praksis som har empirisk støtte. Se artikkelen om hvorfor Damped Trend fungerer av Gardner og McKenzie og Golden Rule-artikkelen av Armstrong et al for detaljer. Det er generelt tilrådelig å holde fast i modeller der minst en av p og q ikke er lar gir enn 1, dvs. ikke prøv å passe på en modell som ARIMA 2,1,2, da dette sannsynligvis vil føre til overfitting og fellesfaktorproblemer som blir nærmere omtalt i notatene om den matematiske strukturen til ARIMA-modellene. Spreadsheet implementering ARIMA-modeller som de som er beskrevet ovenfor, er enkle å implementere på et regneark. Forutsigelsesligningen er bare en lineær ligning som refererer til tidligere verdier av originale tidsserier og tidligere verdier av feilene. Dermed kan du sette opp et ARIMA prognose regneark ved å lagre dataene i kolonne A, prognoseformelen i kolonne B og feildataene minus prognosene i kolonne C Forutsigelsesformelen i en typisk celle i kolonne B ville ganske enkelt være et lineært uttrykk som refererer til verdier i forrige rader med kolonne A og C, multiplisert med passende AR - eller MA-koeffisienter lagret i celler andre steder på regnearket.